Метод аннуитета

Описание метода

Метод аннуитетов исходит из модели, соответствующей методу опреде­ления стоимости капитала. Только эта модель оценивается на основе другой целевой функции (аннуитета).

Аннуитет — это последовательность платежей одинаковой величины, которые производятся в каждый период рассматриваемого интервала времени.

Его можно интерпретировать как сумму, которую инвестор может изымать в каждый период при осуществлении какого-либо проекта. Аннуитет инвес­тиционного объекта эквивалентен стоимости капитала того же объекта, т.е. обе эти величины могут быть преобразованы друг в друга по правилам фи­нансовой математики. Применение метода аннуитетов имеет смысл только в определенных ситуациях, о чем еще будет изложено далее. С учетом этого ограничения для метода аннуитетов действуют следующие критерии выгод­ности64:

Инвестиционный объект абсолютно выгоден, если его аннуитет выше нуля. Объект инвестирования относительно выгоден, если его аннуитет выше, чем у любого другого предлагаемого на выбор объекта.

При вычислении аннуитета платежи, представленные в определенной по­следовательности, как правило, относятся к концу периода (платежи в ка­честве доплаты). Далее будем исходить именно из этого. В качестве рассма­триваемого интервала времени всегда выбирается срок эксплуатации объекта.

Аннуитет (Ann) инвестиционного объекта можно рассчитать умножением стоимости капитала (KW) объекта на коэффициент восстановления65. Послед­ний зависит от расчетной процентной ставки (i) и срока эксплуатации (Т). Аннуитет рассчитывается по следующей формуле:

При оценке абсолютной выгодности, как это видно из указанной выше формулы, метод аннуитетов приводит к тем же результатам, что и метод определения стоимости капитала. Это справедливо и для оценки относитель­ной выгодности, если срок эксплуатации взятых для сравнения объектов одинаков, поскольку тогда коэффициенты восстановления идентичны. В слу­чае различий сроков эксплуатации оценки также могут быть различны. Здесь необходимо при применении метода аннуитетов принять допущение в отно­шении последующих объектов при сравнении альтернативных инвестицион­ных объектов. Этот аспект будет рассмотрен ниже.

Пример

Здесь рассматривается приводимый уже в предыдущем разделе пример. Для альтернативы А имеем:

сящих проценты по расчетной процентной ставке, вместо метода аннуитетов следует применять метод определения стоимости капитала.

Напротив, если исходить из возможности (для) бесконечного числа идентичных повторений реализации объектов инвестирования, то в этом случае это допущение, как правило, оказывается неверным. Здесь метод аннуитетов следует использовать совместно с методом определения стоимости капитала. Тогда по формуле для расчета фактической стоимости постоянной ренты из аннуитета какого-либо объекта, совпадающего с аннуитетами всех последующих инвес­тиций, можно определить стоимость капитала для бесконечной цепи идентич­ных объектов. Формула фактической стоимости или стоимости капитала постоянной ренты выглядит следующим образом:

аннуитет

расчетная процентная ставка

стоимость капитала =

Подставив данные из примера, получим:

В силу иного, чем у альтернативы А, срока эксплуатации полученный для альтернативы В коэффициент восстановления имеет другое значение. Аннуи­тет составляет:

Оба объекта имеют положительный аннуитет, поэтому они абсолютно выгодны. При оценке относительной выгодности нужно учитывать, что ан­нуитеты относятся к различным периодам времени (разным периодам эксплуатации) и вследствие этого охватывают разное число платежей. И хотя аннуитет объекта В выше, он соответствует более короткому промежутку времени. В такого рода случаях метод аннуитетов следует применять лишь в порядке исключения66.

В случае действия принятого в методе определения стоимости капитала допущения о возможности осуществления в будущем инвестиций, прино-

В этой ситуации вследствие более высокой стоимости капитала бесконеч­ной цепи объектов инвестиционный объект В является относительно выгод­ным.

Оценка метода

Оценка метода аннуитетов в значительной степени сходна с оценкой мето­да определения стоимости капитала. В обеих этих моделях совпадают приня­тые в них допущения и необходимые исходные данные. Вычисление аннуи­тета требует лишь незначительно больших затрат, чем расчет стоимости капи­тала.

Конечно, во многих случаях можно отказаться от расчета аннуитета. В ана­лизе абсолютной выгодности метод определения стоимости капитала приво­дит к тому же самому результату, а при равных сроках эксплуатации рассма­триваемых объектов это справедливо и для относительной выгодности. Как упоминалось выше, при различных сроках эксплуатации следует применять метод определения стоимости капитала. К тому же, если расчетные процент­ные ставки отдельных периодов не совпадают, аннуитет, в противополож­ность стоимости капитала, можно определить лишь приблизительно67. Аннуи­тет необходим для определения стоимости капитала для бесконечной инвес­тиционной цепи.

Однако по сравнению с методом определения стоимости капитала метод аннуитетов имеет преимущество относительно трактования. Аннуитет — это отнесенная к определенным периодам величина. Он представляет собой осо­бую форму «средней прибыли» и тем самым может быть легче истолкован,

чем стоимость капитала68.

3.1.3.4. Метод определения внутренней процентной ставки

Описание метода

Метод определения внутренней процентной ставки также в значительной мере основывается на той же смоделированной ситуации, что и метод опреде­ления стоимости капитала. В нем лишь несколько модифицированы условия, касающиеся компенсации различий в затратах и сроках эксплуатации, а также рассматривается другая целевая функция (внутренняя процентная ставка).

В случае внутренней процентной ставки речь идет о ставке, которая при применений в качестве расчетной процентной ставки приводит к нулевому значению стоимости капитала69.

[инвестирование «осуществляется изолированно», а внутренняя процентная !£^ не зависит от процентной ставки, по которой могут быть вложены высвобождающиеся финансовые средства72.

При осуществлении изолированного инвестирования стоимость предназна­ченного для инвестиций имущества, рассчитанная на основе внутренней Процентной ставки, в любой момент планового периода меньше или равна нулю73. Это соответствует действительности, если :

— сумма всех нетто-платежей больше или равна нулю:

и

— сумма всех приходящихся на моменты времени t=0, …, t* нетто-платежей
всякий раз меньше или равна нулю, причем t* обозначает момент
времени, на который приходится последнее превышение выплат над
поступлениями:

Внутренняя ставка процента представляет собой начисление процентов на капитал, затрачиваемый на реализацию инвестиционного объекта в различные моменты времени70.

В методе определения внутренней процентной ставки используются сле­дующие критерии выгодности (при этом необходимо с определенными огра­ничениями сделать ссылку на то, что применение этого метода целесообразно не во всех ситуациях принятия решений)71:

Эти особенности выполняются и в случае нормальных инвестиций, т.е. такого вида инвестиций, платежный ряд которых имеет только однократное чередование знака75.

Формула аннуитетного платежа, расчет платежа

Когда вы берёте в банке кредит, вы обязуетесь в течение определённого срока выплачивать сумму взятого кредита и процентов по нему. Существует несколько способов погашения кредита, распространённый способ — это аннуитетные платежи. В этой статье мы рассмотрим, что такое аннуитетные платежи, узнаем формулу аннуитетного платежа и проведём расчёт.

Аннуитетный и дифференцированный платёж

Аннуитет — это одинаковый по сумме ежемесячный платёж. То есть при аннуитетном платеже вы каждый месяц платите одинаковую сумму (кредит + проценты по нему) независимо от оставшейся суммы задолженности.

Другой способ погашения кредита — это дифференцированный платёж, то есть выплата процентов на оставшуюся задолженность. При дифференцированных платежах ваша сумма ежемесячных выплат будет уменьшаться к концу срока кредита, поскольку вы будете выплачивать проценты за кредит на оставшуюся сумму задолженности. Например, погасив 80% кредита, вы будете платить проценты за оставшуюся сумму (20%).

Для самих банков выгоднее применять аннуитетные платежи, поскольку в этом случае они получают больше прибыли по процентам. Заемщикам же аннуитетные платежи выгоднее в том плане, что удобнее каждый месяц платить одну и ту же сумму, чем каждый раз разную и уточнять, сколько же ему надо внести в следующий месяц.

Формула аннуитетного платежа

В соответствии с формулой аннуитетного платежа размер периодических (ежемесячных) выплат будет составлять:

A = K · S

где А — ежемесячный аннуитетный платёж,
К — коэффициент аннуитета,
S — сумма кредита.

Коэффициент аннуитета рассчитывается по следующей формуле:

где i — месячная процентная ставка по кредиту (= годовая ставка / 12),
n — количество периодов, в течение которых выплачивается кредит.

Поскольку периодичность платежей по кредиту — ежемесячно, то ставка по кредиту (i) берётся месячная. Если процентная ставка 12% годовых, то месячная ставка:
i = 12% / 12 мес = 1%.

С помощью приведённой выше формулы аннуитетного платежа вы можете узнать ежемесячную сумму, которую нужно платить, чтобы погасить кредит.

Расчет аннуитетного платежа

Приведём пример расчета аннуитетного платежа.
Допустим, вы взяли в банке кредит на сумму 30 000 рублей под 18% годовых сроком на 3 года.

Исходные данные:
S = 30 000 рублей
i = 1,5% (18% / 12 мес) = 0,015
n = 36 (3 года х 12 мес)

Подставляем эти значения в формулу и определяем коэффициент аннуитета:

К = 0,015*(1+0,015)36 = 0,03615
(1+0,015)36 — 1

Размер ежемесячных выплат:

A = K*S = 0,03615 * 30000 = 1084,57 рублей.

Расчет аннуитетного платежа в Microsoft Excel

Если у вас возникают проблемы с ручным расчётом аннуитетных платежей — можно вычислить в Excel. В Экселе есть специальная функция ПЛТ. Просто создаёте новую таблицу и в любой ячейке вводите строку.

Подставим те же исходные данные, что и в примере, рассмотренном выше. В результате в Экселе нужно ввести следующее выражение:

Аннуитет

Аннуитет можно рассматривать как особые денежные потоки в финансовом секторе.

Это разновидность инвестиций, которые приносят вкладчику определенный фиксированный доход через равные промежутки времени. Чаще всего этот финансовый инструмент используется в страховых или пенсионных фондах.

Это могут быть периодические выплаты по сберегательным или депозитным сертификатам, облигациям и прочим финансовым инструментам. Периодом времени между аннуитетными платежами называют интервалом платежа. Сроков самого аннуитета называется время от первого платежа до последнего.

Аннуитет наиболее популярен среди современных участников финансового рынка.

При таком виде финансовой ренты можно легко планировать будущие доходы и расходы, а значит таким образом обеспечивается более стабильная и бесперебойная работа финансовог или любого другого учреждения.

Виды аннуитетов:

1. По происхождению плательщиков:

— пенсионные — довольно популярные в последнее время инвестиции в собственную старость. Выплачиваются пенсионным фондом.

— страховые — выплаты страховых компаний.

— финансовые — аннуитетные платежи банков и прочих финучереждений.

— аннуитеты, которые выплачиваются различными юридическими лицами.

2. По времени выплаты первого аннуитетного платежа:

— пренумерандо/авансовый. Здесь выплата осуществляется в начале определенного периода.

— постнумерандо/обыкновенный. Финансовые выплаты осуществляются в конце периода.

3. По моменту поступления средств принято различать:

— срочные аннуитеты. Средства поступают в течении конкретного ограниченного времени равными долями и через равные временные промежутки. Рассчитываются такие аннуитеты как по схеме наращения, так и дисконтирования. Если говорить о конкретных примерах — то для обыкновенного аннуитета это могут быть любые арендные платежи (за квартиру, землю и т.д.). Понять авансовый аннуитет можно на примере ежемесячного пополнения банковского вклада в начале месяца, с целью получения большей суммы процетов.

— бессрочные аннуитеты, также известные как вечная рента — это равные поступления через одинаковые периоды времени напротяжении длительного срока. Примером такого аннуитета может послужить консоль — долгосрочные государственные облигации, действующие более 30 лет. Бессрочный аннуитет также можно разделить на пренумерандо и постнумерандо с дисконтированием.

4. По количеству выплат. Рассмотреть данный вид аннуитетных инвестиций можно на примере банковского вклада и получения процентов по нему:

— выплаты единожды в год;

— срочные — несколько выплат за один год.

5. По количеству начисления процентов напротяжении года:

— ежегодно;

— несколько раз в течении всего года;

— непрерывно.

6. По размеру платежей и учету инфляции:

— фиксированные аннуитетные платежи;

— валютные аннуитеты — привязаны к одной или нескольким стабильным валютам;

— индексируемые — привязанные к инфляционному индексу;

— переменные — величина аннуитета привязана исключительно к индексу доходности отдельных рыночных финансовых инструментов.

Все финансовые инвестиции зависят от реальной стоимости денег.

Естественно, при покупке и окончании аннуитета, эта величина может изменяться. Поэтому следует рассчитать текущую, а также итоговую стоимость аннуитетов согласно формул.

Аннуитеты в МСФО

В данной статье мы продолжим говорить о дисконтировании денежных потоков и в этот раз речь пойдет об аннуитетных денежных потоках.

Что такое аннуитет?

Аннуитет – это серия одинаковых платежей через одинаковые промежутки времени. Это могут быть ежегодные, ежеквартальные, ежемесячные платежи. Например, фиксированная сумма зарплата, арендных выплат, платежей банку по кредиту и т.д.

Аннуитеты бывают пренумерандо и постнумерандо. Данные термины обозначают момент платежа. Термин пренумерандоозначает платежи в начале каждого периода, постнумерандо — в конце временного периода.

Аннуитетные денежные потоки также можно дисконтировать, то есть определять их текущую стоимость. Например, это необходимо, когда нам нужно выбрать между двумя предлагаемых нам вариантами получения денег.

Дисконтирование аннуитетных платежей

ПРИМЕР 1. Необходимо выбрать наиболее выгодный вариант:

А) получить 40,000 долларов сегодня или

(Б) 5 раз по 10,000 долларов в конце каждого из следующих 5 лет.

Банковская ставка для получения кредита на данный срок составляет 10%.

На первый взгляд вариант (Б) в сумме лучше (5 х 10,000 = 50,000), чем 40,000 долларов. Но действительно ли это так? Ведь мы знаем, что у денег есть еще и «временная» стоимость. Чтобы сравнить эти два варианта между собой, надо привести их к одному моменту времени (к моменту «сейчас»), поскольку стоимость денег в разные моменты времени различна. В данном случае надо продисконтировать аннутитетный денежный поток (Б), т.е. рассчитать его сегодняшнюю стоимость.

Для начала давайте вспомним, как выглядит формула дисконтирования:

PV = FV х 1/(1+R)n

где,

Future value (FV) – будущая стоимость Present value (PV) – текущая (дисконтированная/приведенная) стоимость. R – ставка процента (норма доходности, требуемая инвестором), N – число лет от даты в будущем до текущего момента

Коэффициенты дисконтирования, используемые для нашего примера 1/(1+R)n — это 0.9091, 0.8264 и т.д. Только эти вычисления придется повторить 5 раз и сложить. Если продисконтировать (то есть привести к текущему моменту) каждую сумму отдельно, то получится вот такая таблица:

10,000 х 0,9091 = 9,091
10,000 х 0,8264 = 8,264
10,000 х 0,7513 = 7,513
10,000 х 0,6830 = 6,830
10,000 х 0,6209 = 6,209
Итого: 37,907

Здесь сумма платежа умножена на соответствующий каждому году коэффициент дисконтирования. В итоге, пять платежей по 10,000 долларов в конце каждого года с учетом дисконтирования стоят 37,907 долларов, что немного меньше, чем 40,000 сегодня. Следовательно, при ставке 10%, 40,000 долларов сегодня будет выгоднее, чем предложенный аннуитет 5 лет по 10,000 долларов.

Формулу дисконтированной стоимости аннуитета можно записать следующим образом:

PV = PMT х = 10,000 х (0.9091+0.8264+0.7513+0.6830+0.6209) = 10,000 х 3.7907 = 37,907

где PMT (от английского payment) – это сумма аннуитетного платежа.

Как Вы могли заметить, вместо того чтобы дисконтировать каждую сумму отдельно, можно сложить все коэффициенты дисконтирования и умножить только один раз. Результат сложения коэффициентов дисконтирования за 5 лет называется коэффициентом аннуитета. В данном примере коэффициент аннуитета равен 3,7907.

Таким образом, для нахождения текущей стоимости аннуитетов необходимо разовый платеж умножить на коэффициент аннуитета (10,000*3,7907 = 37,907).

Итак, мы разобрали пример с аннуитетными платежами в конце каждого года (постнумерандо) .

ПРИМЕР 2. Давайте немного изменим условия нашего примера. Необходимо выбрать наиболее выгодный вариант:

А) получить 40,000 долларов сегодня или

Б) 5 раз по 10,000 долларов в начале каждого из следующих 5 лет.

Это будет так называемый аннуитет пренумерандо.

В данной ситуации, так как первый платеж производится в начале года, то самый важный нюанс, о котором надо помнить, это то что, первый платеж не надо дисконтировать (т.е. приводить к настоящему моменту). Другими словами, для первого платежа используется коэффициент дисконтирования равный единице. Но необходимо дисконтировать остальные 4 платежа, так как они отложены во времени. Для иллюстрации составим следующую таблицу:

10,000 х 1.000 = 10,000
10,000 х 0.9091 = 9,091
10,000 х 0.8264 = 8,264
10,000 х 0.7513 = 7,513
10,000 х 0.6830 = 6,830
Итого: 41,698

Следовательно, предложенный аннуитет 5 лет по 10,000 в начале года будет выгоднее, чем 40,000 сегодня при ставке 10%.

Формула дисконтированной стоимости аннуитета:

PV = PMT + PMT х = 10,000 + 10,000 х (0.9091+0.8264+0.7513+0.6830) = 10,000 + 10,000 х 3.1698 = 41,698

Обратите внимание, что в данном примере мы определили коэффициент аннуитета для четырех отложенных во времени платежей, а не для пяти, а первый платеж не дисконтировали.

Как видно из данных примеров, большое значение имеет момент, когда производятся платежи: в начале или в конце периода. Поэтому, если нужно рассчитать дисконтированную стоимость аннуитетных денежных потоков, желательно рисовать шкалу времени, на которой отметить суммы и коэффициенты, соответствующие каждому периоду.

Все блоги

Срочный аннуитет

Аннуитетом (финансовой рентой) называется такой денежный поток, при котором платежи равного размера перечисляются через равные временные отрезки. Все аннуитеты бывают срочными и бессрочными.

Чем срочный аннуитет отличается от обычного?

Срочный аннуитет предусматривает последовательность денежных перечислений одного размера с начислением процентов с самого первого периода. Разницу между двумя видами аннуитетов легче понять из рисунка, приведенного в книге Дж. Ван Хорна:

На рисунке сопоставляются процедуры расчета двух видов аннуитета размером в 1000 долларов и годовой ставкой в 8%. Дж. Ван Хорн отмечает: создается впечатление, будто при обычном аннуитете выплаты происходят в 1,2 и 3 периодах, а при срочном – во 2, 3, 4 периодах. Общая стоимость трехлетнего срочного аннуитета по примеру оказывается равной стоимости обычного аннуитета с одним дополнительным периодом. Разумеется, срочный аннуитет является более выгодным для получателя денег, потому как его процентная прибыль выше.

Какие виды срочного аннуитета встречаются?

Срочные аннуитеты классифицируются по времени платежа на постнумерандо и пренумерандо. При аннуитете пренумерандо деньги перечисляются в начале года, при постнумерандо – в конце.

И постнумерандо, и пренумерандо могут рассчитываться по двум схемам: дисконтирования и наращения:

Дисконтирование – это расчет текущей стоимости будущего финансового потока. При дисконтировании срочного аннуитета пренумерандо используется такая формула:

A = FV * * (1 + r) / r

где FV – общая сумма аннуитета, r – процентная ставка, A – фиксированная часть выплаты, n – число периодов.

Выражение в квадратных скобках носит название аннуитетный коэффициент дисконтирования. Это выражение можно представить математически, однако, расчет займет слишком много времени. Гораздо легче определить аннуитетный коэффициент с помощью специальной таблицы:

Чтобы иметь возможность воспользоваться таблицей, достаточно знать процентную ставку и число периодов.

Наращение – это, напротив, вычисление будущей суммы, которую реально получить с тех денег, которые есть в наличии. Формула для расчета срочного аннуитета пренумерандо немного отличается:

FV = A * * (1 + r) / r

Для коэффициента наращения тоже существует таблица расчетов:

Для вычисления срочного аннуитета постнумерандо используются следующие формулы (переменные уже знакомы):

Дисконтирование

A = FV / (1 + r) + FV / (1 + r) ^ 2 +…+ FV / (1 + r) ^ n

Наращение

FV = A * (1 + r) ^ (n — 1) + A * (1 + r) ^ (n – 2) + … + A

Где применяются срочные аннуитеты?

Со срочными аннуитетами люди постоянно встречаются в жизни. Например, если человек, пополняющий банковский депозит регулярно, желает рассчитать, какую прибыль он получит через несколько лет, он должен воспользоваться формулой наращения срочного аннуитета.

Кроме того, вычисление срочного аннуитета нужно для:

  • Сравнения нескольких кредитных предложений
  • Определения полной суммы кредита вместе с процентами